1、"P01: 01背包问题题目有N件物品和1个容量为V的背包。

(资料图片)

2、第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。

3、求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

4、基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选取放或不放。

5、用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入1个容量为v的背包可以获得的最大价值。

6、则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要，基本上全部跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。

7、因此有必要将它清楚解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为1个只牵扯前i-1件物品的问题。

8、假如不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；假如放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

9、优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

10、先考虑上边讲的基本思路怎么实现，肯定是有1个主循环i=1..N，每回算出来二维数组f[i][0..V]的全部值。

11、那么，假如只用1个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]2个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每回主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才可以保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。

12、伪代码如下：for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，由于目前的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。

13、假如将v的循环顺序从上边的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另1个重要的背包问题P02最简捷的处理方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

14、事实上，用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，因此这里抽象出1个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调出使用不加说明。

15、过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，2个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。

16、procedure ZeroOnePack(cost,weight) for v=V..cost f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不一样。

17、前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每一个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。

18、而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。

19、费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1]，这是显然的。

20、有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：for i=1..N ZeroOnePack(c[i],w[i]);初始化的细节问题我们看见的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。

21、有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并木有要求必须把背包装满。

22、一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不一样。

23、假如是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

24、假如并木有要求必须把背包装满，而是只期望价钱尽量大，初始化时应当将f[0..V]全部设为0。

25、为啥呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在木有任何物品可以放入背包时的合法状态。

26、假如要求背包恰好装满，那么此时仅有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均木有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应当是-∞了。

27、假如背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有1个合法解“啥都不装”，这个解的价值为0，因此初始时状态的值也就全部为0了。

28、这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

29、小结01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。

30、故一定要仔细体会上边基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

31、"。

本文到此分享完毕，希望对大家有所帮助。